LA DIVISIÓN

La división es una operación aritmética de descomposición que consiste en averiguar cuántas veces un número (el divisor) está contenido en otro número (el dividendo). La división es una operación matemática, específicamente, de aritmética elemental, inversa de la multiplicación y puede considerarse también como una resta repetida.
Al resultado entero de la división se denomina cociente y si la división no es exacta, es decir, el divisor no está contenido un número exacto de veces en el dividendo, la operación tendrá un resto o residuo, donde:

Que también puede expresarse:

Dividendo = cociente × divisor + resto

Criterios de divisibilidad

Un número es divisible por 2 si es par (su última cifra es 2, 4, 6, 8 ó 0).
Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
Un número es divisible por 4 si el número formado por las últimas dos cifras es múltiplo de 4 o termina en doble 0.
Un número es divisible por 5 si termina en 0 o en 5.
Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y 3.
Un número es divisible por 7 cuando la diferencia entre el número sin la cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es cero o múltiplo de 7.
Un número es divisible por 8 si el número formado por las últimas tres cifras es múltiplo de 8.
Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9.
Un número es divisible por 10 si termina en 0.
Un número es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de los valores absolutos de las cifras de los lugares pares y la suma de los valores absolutos de los lugares impares, en el sentido posible, es múltiplo de 11.
Un número es divisible por 12 si es divisible por 3 y 4.

LA MULTIPLICACIÓN

La multiplicación es una operación aritmética de composición que consiste en sumar reiteradamente la primera cantidad tantas veces como indica la segunda. Así, 4 × 3 = 4 + 4 + 4. La multiplicación está asociada al concepto de área geométrica.
El resultado de la multiplicación de varios números se llama producto. Los números que se multiplican se llaman factores o coeficientes, e individualmente: multiplicando (número a sumar) y multiplicador (veces que se suma el multiplicando). Aunque esta diferenciación en algunos contextos puede ser superflua cuando en el conjunto donde esté definido el producto se tiene la propiedad conmutativa de la multiplicación (por ejemplo, en los conjuntos numéricos). Véase [1] para una discusión sobre el tema.
En Álgebra Moderna se suele usar la denominación Cociente o multiplicación con su notación habitual "·" para designar la operación externa en un módulo, para designar también la segunda operación que se define en un anillo (aquella para la que no está definido el elemento inverso del 0), o para designar la operación que dota a un conjunto de estructura de grupo.

Notación

La multiplicación se indica con el aspa × o el punto centrado ·. En ausencia de estos caracteres se suele emplear el asterisco *, sobre todo en computación (este uso tiene su origen en FORTRAN), pero está desaconsejado en otros ámbitos y sólo debe utilizarse cuando no hay otra alternativa. A veces se utiliza la letra x, pero esto es desaconsejable porque crea una confusión innecesaria con la letra que normalmente se asigna a una incógnita en una ecuación. Por último, se puede omitir el signo de multiplicación a menos que se multipliquen números o se pueda generar confusión sobre los nombres de las incógnitas, constantes o funciones (por ejemplo, cuando el nombre de alguna incógnita tiene más de una letra y podría confundirse con el producto de otras dos).
Si los factores no se escriben de forma individual y están definidos dentro de un vector, se puede escribir el producto mediante una elipsis, es decir, escribir explícitamente los primeros términos y los últimos, o, en caso de un producto de infinitos términos (o productos infinitos), sólo los primeros, y sustituir los demás por unos puntos suspensivos. Esto es análogo a lo que se hace con otras operaciones aplicadas a infinitos números (como las sumas). [El producto de infinitos términos se define como el límite del producto de los n primeros términos cuando n crece indefinidamente].
Así, el producto de todos los números naturales desde el 1 hasta el 100 se puede escribir:
Esto también se puede denotar escribiendo los puntos suspensivos en la parte media de la línea de texto:
En cualquier caso, deben estar claros cuáles son los términos omitidos.
Por último, se puede denotar el producto mediante el símbolo productorio, que proviene de la letra griega Π (Pi mayúscula).
Esto se define así:
El subíndice i indica una variable que recorre los números enteros desde un valor mínimo (m, indicado en el subíndice) y un valor máximo (n, indicado en el superíndice).

Propiedades

Propiedad conmutativa

Utilizando esta definición, es fácil demostrar algunas propiedades interesantes de la multiplicación. Como indican los dos primeros ejemplos, el orden en que se multiplican dos números es irrelevante, lo que se conoce como propiedad conmutativa, y se cumple en general para dos números cualesquiera x é y:
x·y = y·x

Propiedad asociativa

La multiplicación también cumple la propiedad asociativa, que consiste en que, para tres números cualesquiera x, y, z, se cumple:
(x·y)z = x(y·z)
En la notación algebraica, los paréntesis indican que las operaciones dentro de los mismos deben ser realizadas con preferencia a cualquier otra operación.

Propiedad distributiva

La multiplicación también tiene lo que se llama propiedad distributiva con la suma, porque:
x·(y + z) = xy + xz
Asimismo:
(x + t)(y + z) = x(y + z) + t(y + z) = xy + xz + ty + tz
Elemento neutro
También es de interés que cualquier número multiplicado por 1 es igual a sí mismo:
1·x = x
es decir, la multiplicación tiene un elemento neutro que es el 1.

Cero

¿Qué ocurre con el cero? La definición inicial no ayuda mucho porque 1 es mayor que 0. De hecho, es más fácil definir el producto por cero utilizando la segunda definición:
m·0 = m + m + m +...+ m
donde hay cero sumandos. La suma de cero veces m es cero, así que
m·0 = 0
sin importar lo que valga m, siempre que sea finito.

LA SUMA O ADICIÓN Y LA RESTA O SUSTRACCIÓN

LA SUMA O ADICIÓN

La suma o adición es la operación matemática de composición que consiste en combinar o añadir dos números o más para obtener una cantidad final o total. La suma también ilustra el proceso de juntar dos colecciones de objetos con el fin de obtener una sola colección. Por otro lado, la acción repetitiva de sumar uno, es la forma más básica de contar.
En términos más formales, la suma es una operación aritmética definida sobre conjuntos de números (naturales, enteros, racionales, reales y complejos) y también sobre estructuras asociadas a ellos, como espacios vectoriales con vectores cuyas componentes sean estos números o funciones que tengan su imagen en ellos.
En el álgebra moderna se utiliza el nombre suma y su símbolo "+" para representar la operación formal de un anillo que dota al anillo de estructura de grupo abeliano, o la operación de un módulo que dota al módulo de estructura de grupo abeliano. También se utiliza a veces en teoría de grupos para representar la operación que dota a un conjunto de estructura de grupo. En estos casos se trata de una denominación puramente simbólica, sin que necesariamente coincida esta operación con la suma habitual en números, funciones, vectores...

PROPIEDADES DE LA SUMA

Propiedad conmutativa: si se altera el orden de los sumandos, no cambia el resultado, de esta forma, a+b=b+a.
Propiedad asociativa: a+(b+c) = (a+b)+c
Elemento neutro: 0. Para cualquier número a, a + 0 = 0 + a = a.
Elemento opuesto: Para cualquier número entero, racional, real o complejo a, existe un número −a tal que a + (−a) = (−a) + a = 0. Este número −a se denomina elemento opuesto, y es único para cada a. No existe en algunos conjuntos, como el de los números naturales.
Propiedad distributiva:La suma de dos números multiplicada por un tercer número es igual a la suma de cada sumando multiplicado por el tercer número. Por ejemplo 4 * (6+3) = 4*6 + 4*3
Estas propiedades pueden no cumplirse en casos del límite de sumas parciales cuando tienden al infinito.

NOTACIÓN

Si todos los términos se escriben individualmente, se utiliza el símbolo "+" (leído más). Con esto, la suma de los números 1, 2 y 4 es 1 + 2 + 4 = 7 .
También se puede emplear el símbolo "+" cuando, a pesar de no escribirse individualmente los términos, se indican los números omitidos mediante puntos suspensivos y es sencillo reconocer los números omitidos. Por ejemplo:
1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 es la suma de los cien primeros números naturales.
2 + 4 + 8 + ... + 512 + 1024 es la suma de las diez primeras potencias de 2.
En sumas largas o infinitas se emplea un nuevo símbolo, llamado sumatorio y se representa con la letra griega Sigma mayúscula (Σ). Por ejemplo:
es la suma de los cien primeros números naturales.
es la suma de las diez primeras potencias de 2.
es la suma de todos los números racionales de la forma 1/k2, esta es una suma infinita la cual nunca termina, es decir se suman todos los elementos de un conjunto infinito.

LA RESTA O SUSTRACCIÓN

La resta o sustracción es una de las cuatro operaciones básicas de la aritmética, se trata de una operación de descomposición que consiste en, dada cierta cantidad, eliminar una parte de ella y el resultado se conoce como diferencia.
Es la operación inversa a la suma. Por ejemplo, si a+b=c, entonces c–b=a.
En la resta, el primer número se denomina minuendo y el segundo es el sustraendo. El resultado de la resta se denomina diferencia.
En el conjunto de los números naturales, N, sólo se pueden restar dos números si el minuendo es mayor que el sustraendo. De lo contrario, la diferencia sería un número negativo, que por definición estaría excluido del conjunto. Esto es así para otros conjuntos con ciertas restricciones, como los números reales positivos.
En matemáticas avanzadas no se habla de "restar" sino de "sumar el opuesto". En otras palabras, no se tiene a – b sino a + (–b), donde –b es el elemento opuesto de b respecto de la suma.
Lo que implica la ampliación del conjunto de los números naturales con un nuevo concepto de número, el conjunto de los números enteros, que incluye a los naturales.

PROPIEDADES DE LA RESTA

La resta no tiene las propiedades de la suma.La resta no es una operación interna en el conjunto de los números naturales, porque para que dos números naturales se puedan restar es necesario que el número minuendo sea mayor que el número substraendo. Si eso no ocurre esa resta no es posible en el conjunto de los números naturales porque el resultado no sería un número natural.La resta no tiene la propiedad conmutativa, es decir, no podemos intercambiar la posición del minuendo con la del substraendo.La resta tampoco tiene la propiedad asociativa.

Propiedad fundamental de la resta.

Si sumamos o restamos el mismo número al minuendo y al substraerndo obtenemos una resta equivalente.En esta escena puedes ver paso a paso y comprobar esta propiedad.

RELACIÓN DE LA SUMA Y LA RESTA

Hay una relación inversa entre la suma y la resta. Ejemplo: Como 3 + 7 = 10 entonces los siguientes también son verdad: 10 - 3 = 7 10 - 7 = 3 Existen relaciones similares para la resta. Ejemplo: Como 10 – 3 = 7 entonces lo siguientes también son verdad: 3 + 7 = 10 7 + 3 = 10 Una ecuación es balanceada o igual a cada lado del signo igual (=). Si se realiza la misma operación en ambos lados de la ecuación, esta permanecerá balanceada o igual. En el ejemplo anterior comenzamos con la ecuación 3+ 7 = 10. Resta el mismo número a ambos lados 3 + 7 – 3 = 10 - 3 En el lado izquierda el 3 y el -3 producen 0 lo que deja 7 = 10 - 3 Damos vuelta la ecuación para presentarla en una forma más normal 10 - 3 = 7

Operaciones Básicas De La Matemáticas

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